Ejemplo de distintas factorizaciones

• Un ejemplo interesante basado en funciones trigonométricas sobre un anillo que no satisface la propiedad de factorización única:

       Trotter H. F. (Apr., 1988) An overlooked example of nonunique factorization. Amer. Math. Monthly, 95 (4) 339-342.

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El criterio de irreducibilidad de Eisenstein

• Un poco de historia sobre este teorema de irreducibilidad de polinomios en una variable:

       

        Cox D. (2011) Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first. Amer. Math. Monthly, 118(1) 3-21.

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La resultante

• No es común encontrar en los libros básicos de teoría de Galois referencias sobre la resultante entre dos polinomios (que incluye como caso particular el discriminante de un polinomio). Esta herramienta es útil para determinar cuando dos polinomios en una variable tienen una raíz en común. También se puede utilizar para construir un polinomio que tenga como raíces la suma o el producto de las raíces de dos polinomios dados. Puede consultar las siguientes referencias:

       
       De Pillis L. G. (2005) Determinants and polynomial root structure. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 36(5)  469-481.

        

       Janson S. Resultant and discriminant of polynomials. Disponible aquí.        

       

       Myerson G. (1983) On resultants. Proc. Amer. Math. Soc. 89, 419-420.

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Construcciones de cuerpos finitos

• Así como los complejos se puede construir como ciertas matrices reales de tamaño 2x2, esta construcción se puede aplicar a ciertos Z/pZ para construir cuerpos con p^2 elementos:

       
       Gardner B. J. (2018) Fossicking for finite fields. Mathematics Magazine, 91(3) 208-212.

 

• Como referencia general puede consultar aquí. Este es el capítulo 1 de: Niederreiter H., Xing C. Algebraic geometry in coding theory and cryptography, Princeton University Press. 2009. (aplicación de los cuerpos finitos a la teoría de códigos).

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Las series de Puiseux

• Estas series (series de potencias en una variable con coeficientes complejos y exponentes racionales con denominados acotado) describen la clausura algebraica del cuerpo de series de Laurent C((z)), las series formales en una variable con coeficientes complejos (teorema de Puiseux). Este resultado se basa en un algoritmo que se remonta a Newton. Véase por ejemplo Secciones 1.1 a 1.5. de:

 
       Casas-Alvero E. Singularities of plane curves.  London Mathematical Society Lecture Note Series 276. 2000.

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Construcciones geométricas, la lemniscata, tréboles y grupos de Galois

• El caso clásico se corresponde al del cuerpo de números construibles con regla y compás correspondiente a extensiones de Q de grado una potencia de dos. Pero también existen otros cuerpos que se generan con otro tipo de construcciones, por ejemplo, con la regla marcada o con origami.

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       Alperin R. C. (2000) A mathematical theory of origami constructions and numbers. New York J. Math. 6, 119–133.

 

       Martin G. (1998) Geometric Constructions. UTM, Springer-Verlag, NY.

        Ver Chapter 9. The marked ruler (Teorema de Pierpont sobre la construcción de raíces cúbicas).

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• Por otra parte, una construcción geométrica clásica corresponde a la división de un círculo en n partes iguales con regla y compás y por tanto a la construcción de polígonos regulares. Esta pregunta se puede extender a otros objetos geométricos como la lemniscata (el teorema de Abel)  y los tréboles. Algunas referencias para criterios de división de estas figuras geométricas en términos de grados de extensiones de cuerpos:

        Gleason A. M. (1988) Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon. Amer. Math. Monthly, 95(3) 185-194.
 

        Rosen M. (Jun. - Jul., 1981) Abel's theorem on the Lemniscate. Amer. Math. Monthly, 88(6), 387-395.

        Cox D., Hydeb T. (2014) The Galois theory of the lemniscate. J. Number Theory, 135, 43-59.

        Cox D., Shurman J. (Oct., 2005) Geometry and Number Theory on clovers. Amer. Math. Monthly, 112(8), 682-704.

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Los polinomios de Chebyshev y el polinomio mínimo de cos(2π/n)

• Gürtaş Y. Z. (January 2017) Chebyshev polynomials and the minimal polynomial of cos(2π/n). Amer. Math. Monthly, 124(1) 74-78.

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Un polinomio con grupo de Galois el grupo (de orden 8) de los cuaterniones 

• Como problemas abiertos en la teoría no se sabe aún si cada grupo finito simple es un grupo de Galois sobre Q. Shafarevich (1954) demostró que esto es válido para todos los grupos finitos solubles. Para el grupo de los cuaterniones, véase:

          Dean R. A. (Jan., 1981) A rational polynomial whose Group is the quaternions. Amer. Math. Monthly, 88(1) 42-45.

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Extensión cíclicas usando algebra lineal

• El estudio de extensiones con grupo de Galois cíclico (polinomios x^n-a) se basa en la norma y traza de una extensión. Este artículo describe estos resultados desde otro enfoque básico:

 

       Houston E. G. (Jan., 1993) A linear algebra approach to cyclic extensions in Galois theory. Amer. Math. Monthly, 100(1) 64-66.

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Funciones simétricas

• Las funciones simétricas racionales en un número finito de variables permites demostrar que: Si G es un grupo finito, entonces existe una extensión de Galois de una extensión E/F, donde F es un cuerpo arbitrario, con grupo de Galois isomorfo a G. (Proposition 2.16, Hungerford). Como complemento al estudio de estas funciones están las identidades de Newton que relacionan las funciones elementales simétricas (los coeficientes en x del polinomio (x-x_1)...(x-x_n)) y las sumas de potencias (p_k=x_1^k+...+x_n^k). Una demostración interesate se puede consultar en:

       Mead D.G. (Oct., 1992) Newton's identities. Amer. Math. Monthly, 99(8) 749-751.

 

• Otra pregunta que tiene cierta conexión con estas identidades es el teorema de Faulhaber sobre las sumas de potencias S_k(n)=1^k+...+n^k, que puede consultarse en:

 

        Krishnapriyan H. K. (1995) Eulerian polynomials and Faulhaber's result on sums of powers of integers. The College Mathematics Journal, 26(2) 118-123.