Álgebra 1 (Grupos y Anillos)
Programa
Notas:
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Un vídeo de 3Blue1Brown antes de comenzar este curso. Click aquí.
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El curso se inspiró en las clases de Richard Borcherds que se pueden acceder en YouTube.
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Muchos ejemplos fueron tomado de las notas expositorias de K. Conrad, accesibles en su web.
Lista Ejercicios
Referencias
Extras
1. Preliminares.
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1.1 Aplicaciones, biyecciones, conteo. Relaciones de equivalencia y particiones.
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1.2 Números enteros. Divisibilidad. Identidad de Bezout. Máximo común divisor. Congruencias.
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1.3 Enteros módulo m, Z/mZ. Idelaes en Z. El pequeño teorema de Fermat. La función phi de Euler. El teorema chino del resto.
Notas: La demostración sobre la infinitud de los numeros primos fue tomada de:
Saidak, F. (2006) A new proof of Euclid’s theorem. Amer. Math. Monthly, 113(10) 937–938. doi:10.2307/27642094
2. Grupos y Acciones.
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2.1 Semigrupos, monoides y grupos. Acción de un grupo sobre un conjunto. Propiedades básicas. Ejemplos en Z, Q, R. Repaso sobre números complejos (C y S^1).
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2.2 Subgrupos. Enteros de Gauss Z[i], raíces de la unidad, grupos dihedrales D_2n. Grupos cíclicos.
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2.3 Isomorfismos. La tabla de un grupo. Grupos de orden 1, 2, 3 y 4. Productos directos externos.
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2.4 El subgrupo generado por un conjunto. El retículo de sugbrupos. Orden de un elemento. Clasificación de grupos cíclicos. Ejemplo: los grupos GLn(R) con R=Z,Q,R,C,Z/mZ.
Notas:
Los ejercicios sobre grupo que son abelianos cuando ciertas relaciones son válidas entre potencias se pueden complementar con la lectura del siguiente artículo:
Joseph A. Gallian, Michael Reid (Jun. - Jul., 1993) Abelian Forcing Sets. The American Mathematical Monthly, 100(6), 580-582. www.jstor.org/stable/2324619
Sobre el ejercicio que {5,15,25,35} forma un grupo con la multiplicación mod 40. Este está tomado del siguiente artículo que explica la razón por la cual estos conjuntos de números tan peculiares tienen estructura de grupo:
Ruth I. Berger (2005) Hidden Group Structure, Mathematics Magazine, 78:1, 45-48, doi:10.1080/0025570X.2005.11953299
Los ejemplos sobre órdenes de elementos en un grupo, además de propiedades extra, se pueden consultar en el siguienta nota:
Conrad K. Orders of elements in a group. Disponible online.
La tabla de un grupo no puede ser arbitraria, porque al componer dos filas debe resultar otra fila de la tabla:
Man-Keung Siu (1991) Which Latin Squares are Cayley Tables?, The American Mathematical Monthly, 98:7, 625-627, DOI: 10.1080/00029890.1991.11995768
3. Cocientes y Homomorfismo.
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3.1 Clases laterales. Índice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. Teorema de Euler (sobre congruencias). Clasificación de grupos de orden primo. Homomorfimos. Ejemplos.
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3.2 Subgrupos normales. Grupos cocientes. Primer teorema de isomorfía. Ejemplos.
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3.3 Subgrupos de un cociente. Productos directos internos. Segundo teorema de isomorfía. Clasificación de grupos de orden 6.
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3.4 Automorfismos de un grupo. Productos semidirectos. Ejemplos. Tercer teorema de isomorfía. Clasificación de grupos de orden 2p, p>2 primo.
Notas:
4. Grupos notables.
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4.1 Clasificación de grupos de orden 8. Los cuaterniones de Hamilton. El grupo simétrico. Teorema de Cayley. El signo de una permutación. Los grupos alternantes An. A4 como rotaciones del tetrahedro. S4 como rotaciones de un cubo.
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4.2 Grupos finitos como grupos de matrices. Los grupos ortogonal O3 y especial ortogonal SO3. Grupos simples. Simplicidad de An, n>4.
Notas:
Vídeo de 3Blue1Brown explicando el significado geométrico del anillo de cuaterniones. Click aquí
A4 no tiene subgrupos de orden 6. Por tanto, el recíprico del Teorema de Lagrange no es válido:
Michael Brennan & Des Machale (2000) Variations on a Theme: A4 Definitely Has No Subgroup of Order Six!, Mathematics Magazine, 73:1, 36-40, DOI 10.1080/0025570X.2000.11996796
Animaciones en Geogebra para visualizar las simetrías de los sólidos platónicos:
Para el octaedro y el icosaedro basta emplear la dualidad entre los sólidos platónicos descrita en la figura:
5. Más sobre acciones. Los teoremas de Sylow.
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5.1 Sumas indexadas por grupos finitos. Ejemplo: el determinante. Más sobre acciones de grupos: estabilizador, órbita y puntos fijos. Ejemplos.
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5.2 Teorema de la órtiba y el estabilizador. Ejemplos. El lema de Burnside. Ejemplos sobre coloraciones. La ecuación de clases. Clasificación de grupos de orden p^2, p primo.
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5.3 El teorema de Cauchy. Clasificación de grupos abelianos finitos. Ejemplos.
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5.4 Los teoremas de Sylow. Ejemplos. Clasificación de grupos de orden pq, con p y q primos distintos.
Notas:
La ecuación de clases se puede aplicar para estimar la probabilidad de que al escoger dos elementos de un grupo finito, estos conmuten. Los detalles están en los artículos:
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W. H. Gustafson (1973) What is the Probability that Two Group Elements Commute?, The American Mathematical Monthly, 80:9, 1031-1034, DOI: 10.1080/00029890.1973.11993437
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Desmond MacHale (Oct., 1974) How Commutative Can a Non-Commutative Group Be? The Mathematical Gazette, 58(405), 199-202. DOI 10.2307/3615961
El artículo con la demostración de McKay del teorema de Cauchy es:
James H. McKay (Feb., 1959) Another Proof of Cauchy's Group Theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 66(2), 119. www.jstor.org/stable/2310010
Uno de los ejercicios extra sobre la estructura del grupo U(m) de unidades de Z/mZ está tomado de:
David J. Devries (1989) The Group of Units in Zm, Mathematics Magazine, 62:5, 340.
DOI: 10.1080/0025570X.1989.11977467
La exposición sobre clasificación de grupos de orden pq está tomada de:
Conrad K. Consequences of Cauchy's theorem. Disponible online.
6. Anillos.
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6.1 Anillos, dominios, cuerpos. Propiedades básicas. El grupo de unidades. El anillo de polinomios en una variable con coeficientes en un anillo R.
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6.2 Homomorfismos de anillos. La característica de un dominio. Subanillos e ideales. Los teoremas de isomorfía.
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6.3 Ideales primos y maximales. El lema de Zorn. Existencia de ideales maximales para anillos con unidad.
Notas:
El ejercicio sobre existencia de anillos no conmutativos con p^2 elementos está tomado de:
Erickson D. B. (Apr., 1966) Orders for Finite Noncommutative Rings. The American Mathematical Monthly, 73(4), 376-377. www.jstor.org/stable/2315402
Sobre la existencia de ideales maximales, es importante notar que si el anillo no tiene identidad el resultado es falso. El ejemplo de las notas está tomado del siguiente artículo, que incluye más ejemplo:
Peter Malcolmson & Frank Okoh (2000) Rings Without Maximal Ideals, The American Mathematical Monthly, 107:1, 60-61, DOI: 10.1080/00029890.2000.12005162
7. Algunos tipos de anillos.
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7.1 Divisibilidad. Dominios euclídeos. Ejemplo: división con polinomios en una variable, división entre enteros de Gauss. Condiiciones de finitud sobre ideales. Dominios de ideales principales. Anillos Noetherianos. El teorema de la base de Hilbert.
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7.2 Elementos primos e irreducibles. Dominios de factorización única. Aplicación a Z[i]: cálculo de sus primos. Teorema de Fermat sobre primos que son suma de dos cuadrados.
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7.3 Factorización de polinomios en una variable. Cuerpos de fracciones (ver 7.4). Polinomios primitivos. El lema de Gauss. Criterio de irreducibilidad de Einsenstein.
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7.4 EXTRA: Cuerpos finitos. Subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un cuerpo.
Notas:
Algunos ejemplos sobre subanillos de R[x] que no son Noetherianos fueron tomados del artículo:
Tess Jackson & Muhammad Zafrullah (1996) Examples in Modern Algebra with which students can play. PRIMUS, 6(4), 351-354, DOI: 10.1080/10511979608965837
El ejemplo sobre polinomios en Q[x] con valores en Z, así como el hecho de que dicho anillo no es Noetheriano está tomado del artículo:
Paul-Jean Cahen & Jean-Luc Chabert (2016) What You Should Know About Integer-Valued Polynomials, The American Mathematical Monthly, 123(4), 311-337. DOI 10.4169/amer.math.monthly.123.4.311
Los detalles del ejemplo sobre un DIP que no es dominio euclídeo se pueden consultar en:
Oscar A. Campoli (Nov., 1988) A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain. The American Mathematical Monthly, 95(9), 868-871. www.jstor.org/stable/2322908
Una nota corta sobre la unicidad en el algoritmo de la división de un dominio euclídeo:
M. A. Jodeit, Jr. (Aug. - Sep., 1967) Uniqueness in the Division Algorithm. The American Mathematical Monthly, 74(7), 835-836. www.jstor.org/stable/2315810
Algunos ejemplos sobre dominios que no son de factorización única se pueden consultar en:
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Scott T. Chapman (1992) A Simple Example of Non-unique Factorization in Integral Domains, The American Mathematical Monthly, 99(10), 943-945, DOI: 10.1080/00029890.1992.11995958
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Trotter H. F. (Apr., 1988) An Overlooked Example of Nonunique Factorization. The American Mathematical Monthly, 95(4), 339-342. DOI 10.2307/2323570
Para ejemplos de dominios que no son dominios euclídeos empleando el concepto de universal side divisors, ver
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Sahib Singh (1976) Non-Euclidean Domains: An Example, Mathematics Magazine, 49:5, 243-243. DOI: 10.1080/0025570X.1976.11976591
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Kenneth S. Williams (1975) Note on Non-Euclidean Principal Ideal Domains. Mathematics Magazine, 48:3, 176-177. DOI: 10.1080/0025570X.1975.11976476
Extras
Sobre la unicidad de un grupo de orden dado
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Aquí un artículo con la carecterización de N para que exista un solo grupo de orden N:
Dieter Jungnickel (Jun. - Jul., 1992) On the Uniqueness of the Cyclic Group of Order n. The American Mathematical Monthly, 99(6), 545-547.
Clasificación de grupos finitos abelianos
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Una demostración alternativa a dicho teorema de clasificación:
Gabriel Navarro (2003) On the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups, The American Mathematical Monthly, 110:2, 153-154, DOI:10.1080/00029890.2003.11919951
Grupos de orden 12 y p^3
La clasificación de estos grupos se puede consultar en las notas:
Grupos de orden 16
Marcel Wild (Jan., 2005) The Groups of Order Sixteen Made Easy. The American Mathematical Monthly, Vol. 112(1), 20-31. DOI 10.1080/00029890.2005.11920164.
Más sobre los enteros de Gauss
En las notas de clase se insistió en los elementos primos de Z[i], sus ideales y el tamaño de los cocientes. Otro tema interesante es extender la función phi de Euler a estecontexto. Para más información, así como para la referencia usada en las notas, ver:
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Conrad K. The Gaussian Integers. Disponible online.
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James T. (Oct., 1983) The Euler φ-Function in the Gaussian Integers. The American Mathematical Monthly, 90(8), 518-528. www.jstor.org/stable/2322785.
Sobre cuerpos
Aunque el estudio de cuerpos se posterga para un siguiente curso en álgebra, señalamos dos artículos interesantes sobre estos objetos. Primero, una nota donde analiza la construcción matricial de C desde R, pero ahora en Z/pZ. También, una nota que demuestra que no hay cuerpos que extiendan a R, de dimensión real mayor que 2:
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B. J. Gardner (2018) Fossicking for Finite Fields, Mathematics Magazine, 91:3, 208-212, DOI: 10.1080/0025570X.2018.1445377
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Young, R. M. (1988). 72.24 When Is R^n a Field? The Mathematical Gazette, 72(460), 128. DOI: 10.2307/3618929
Referencias
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D.J.S. Robinson. An Introduction to Abstract Algebra De Gruyter Textbook, 2008.
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I. N. Herstein. Abstract Algebra. 3rd edition. Wiley, 1996.
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T. W. Judson. Abstract Algebra. Theory and Applications. 2022 http://abstract.ups.edu/aata/aata.html Descargable aquí.
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T. W. Hungerford. Algebra. G.T.M. Springer-Verlag, NY. 1974.
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J.E. Humphreys. A Course in Group Theory. Oxford University Press, 2001.
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N. Carter. Visual Group Theory. Classroom Resource Materials vol. 32. AMS, MAA Press, 2009.
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S. Lang. Algebra. 3rd ed. GTM, Springer New York, NY, 2002.