Tópicos en Análisis Complejo
Programa
Lista Ejercicios
Referencias
Extras
1. Representaciones de los números complejos
3. Funciones holomorfas. Integración en C
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3.1 Los anillos de funciones continuas y holomorfas en un dominio. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
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3.2 Integración en C. Teorema de Goursat. Fórmula de Cauchy en un rectángulo.
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3.3 Holomorfía implica analiticidad. Teorema y la fórmula de Cauchy en un disco. Teorema de Morera. Límites de sucesiones de funciones holomorfas.
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3.4 Fórmulas y desigualdades de Cauchy en un disco. Teorema de Liouville. Teorema de Weierstrass sobre límites de funciones holomorfas. Regla de Leibniz para integrales de funciones holomorfas.
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Notas:
Respecto a la holomorfía de una función continua, se tiene el teorema de Looman-Menchoff que asegura que si f es una función continua sobre un dominio U, sus derivadas parciales df/dx y df/dy existen en todo punto de U y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa en U. Es decir, comparando con el teorema visto en clase, se puede omitir la hipótesis de que las derivadas parciales de f sean continuas. Para una demostración, véase: Capítulo 1.6 de R. Narasimhan, Y. Nievergelt. Complex analysis in one variable. Second Edition. Springer Science+Business Media, LLC. 2001.
Para una discusión más completa sobre este teorema puede consultar:
Gray, J. D., Morris S. A. (1978) When is a function that satisfies the Cauchy-Riemann equations analytic? Amer. Math. Monthly, 85(4) 246-256.
4. Funciones armónicas. La fórmula de Poisson
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4.1 Funciones armónicas. Principio débil del módulo máximo. El problema de Dirichlet y su unicidad. Separación de variable para hallar la solución en el caso del círculo.
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4.2 Teorema del módulo máximo para funciones holomorfas y armónicas. Generalidades sobre series de Fourier. La fórmula de Poisson.
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4.3 Solución del problema de Dirichlet para el disco y su complemento, a través del núcleo de Poisson.
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Notas:
5. Principios del módulo máximo y de Phragmén-Lindelöf
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5.1 El principio de continuación analítica. El teorema de la aplicación abierta. La forma fuerte del principio del módulo máximo. Algunas extensiones de este principio (bandas infinitas).
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5.2 Funciones convexas. El teorema de las 3 rectas y el de los 3 círculos de Hadamard. El principio de Phragmén-Lindelöf. La desigualdad de Borel-Carathédory.
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Notas:
8. Automorfismos. El lema de Schwarz
10. Curvatura. Los teoremas de Picard
11. El teorema de la aplicación de Riemann
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11.1 El principio del argumento. El teorema de Hurwitz. Homotopías. Dominios simplemente conexos. Existencia de primitivas y logaritmos. El teorema de la aplicación de Riemann. El teorema de aproximación de Runge. Las distintas caracterizaciones de conexidad simple para dominios planos.
Notas:
Extras
Euler y las series de potencias
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Aquí un artículo sobre el trabajo de Leonard Euler en series de potencias. Además de su historia contiene algunas de las fórmulas vistas en clase:
Varadarajan, V. S. (2007) Euler and his work on infinite series. Bull. Amer. Math. Soc. (4) 515–539.
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El grupo de automorfismos de algunos dominios​
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Kang-Tae K., Krantz S. (2005) The Automorphism Groups of Domains, Amer. Math. Monthly, 112(7) 585-601.
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El teorema de la aplicación de Riemann vía el problema de Dirichlet​
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Levi M. (Mar., 2007) Riemann Mapping Theorem by Steepest Descent. Amer. Math. Monthly, 114(3) 246-251.
Referencias
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Narasimhan R. Complex analysis in one variable. Birkhäuser (2001).
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Krantz S. Complex Analysis The Geometric viewpoint. The Carus Mathematical Monographs 23. AMS (2004).
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Cheraghi D. Geometric complex analysis. Imperial College London (2017). Disponible aquí.
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Stein E., Shakarchi E. Complex Analysis. Princeton Lectures in Analysis (2007).
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Conway J. Functions of one complex variable. Second edition. Springer-Verlag.