top of page

1. Representaciones de los números complejos

  • 1.1 Números complejos, la esfera de Riemann y la superficie del logaritmo.

​​

Notas:

Ancla 1
Ancla 3

2. Series de potencias

  • 2.1 Series de potencias formales y convergentes. Composición de series. Teorema de la función inversa formal.

  • 2.2 Funciones analíticas. Series mayorantes. Teorema de la función inversa para funciones analíticas.

​

Notas:

Ancla 4

3. Funciones holomorfas. Integración en C

  • 3.1 Los anillos de funciones continuas y holomorfas en un dominio. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

  • 3.2 Integración en C. Teorema de Goursat. Fórmula de Cauchy en un rectángulo.

  • 3.3 Holomorfía implica analiticidad. Teorema y la fórmula de Cauchy en un disco. Teorema de Morera. Límites de sucesiones de funciones holomorfas.

  • 3.4 Fórmulas y desigualdades de Cauchy en un disco. Teorema de Liouville. Teorema de Weierstrass sobre límites de funciones holomorfas. Regla de Leibniz para integrales de funciones holomorfas.

​

Notas:

       Respecto a la holomorfía de una función continua, se tiene el teorema de Looman-Menchoff que asegura que si f es una función continua sobre un dominio U, sus derivadas parciales df/dx y df/dy existen en todo punto de U y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa en U. Es decir, comparando con el teorema visto en clase, se puede omitir la hipótesis de que las derivadas parciales de f sean continuas. Para una demostración, véase: Capítulo 1.6 de R. Narasimhan, Y. Nievergelt. Complex analysis in one variable. Second Edition. Springer Science+Business Media, LLC. 2001.

 

    Para una discusión más completa sobre este teorema puede consultar:
    Gray, J. D., Morris S. A. (1978) When is a function that satisfies the Cauchy-Riemann equations analytic? Amer. Math.  Monthly, 85(4) 246-256.
 

Ancla 5

4. Funciones armónicas. La fórmula de Poisson

  • 4.1 Funciones armónicas. Principio débil del módulo máximo. El problema de Dirichlet y su unicidad. Separación de variable para hallar la solución en el caso del círculo.

  • 4.2 Teorema del módulo máximo para funciones holomorfas y armónicas. Generalidades sobre series de Fourier. La fórmula de Poisson.

  • 4.3 Solución del problema de Dirichlet para el disco y su complemento, a través del núcleo de Poisson.

​

Notas:

Ancla 6

5. Principios del módulo máximo y de Phragmén-Lindelöf

  • 5.1 El principio de continuación analítica. El teorema de la aplicación abierta. La forma fuerte del principio del módulo máximo. Algunas extensiones de este principio (bandas infinitas). 

  • 5.2 Funciones convexas. El teorema de las 3 rectas y el de los 3 círculos de Hadamard. El principio de Phragmén-Lindelöf. La desigualdad de Borel-Carathédory.

​

Notas:

Ancla 7

6. Teoremas de Arzelà-Ascoli y de Montel

  • 6.1 Repaso sobre compacidad. Convergencia uniforme en compactos.

  • 6.2 Familias normales. El teorema de Arzelá-Ascoli. El teorema de Montel. 

​

Notas:

Ancla 8

7. Funciones meromorfas

  • 7.1 Desarrollos y series de Laurent. Singularidades aisladas. Teorema de Riemann sobre singularidades removibles y de Casorati-Weierstrass.

  • 7.2 Holomorfia en infinito. Funciones meromorfas. Funciones racionales. Automorfismos de la esfera.

​

Notas:

Ancla 9

8. Automorfismos. El lema de Schwarz

  • 8.1 Automorfismos de la esfera. Lema de Schwarz. Automorfimos del plano, del disco unidad y del semiplano superior. El grupo especial lineal. Descomposición de Iwasawa para SL2(R).

  • 8.2 Clasificación de transformaciones de Möbius. Puntos fijos y traza. Conjuntos invariantes.

​

Notas:

Ancla 10

9. Métricas conformes

  • 9.1 Métricas conformes. El disco de Poincaré. Isometrías. Distancia inducida y el cálculo para el disco de Poincaré. El lema de Schwarz-Pick.

  • 9.2 Métrica cordal y métrica esférica. Geodésicas. Geodésicas para el plano, el disco y la esfera.

 

Notas:

Ancla 11

10. Curvatura. Los teoremas de Picard

  • 10.1 La curvatura de una métrica. El lema de Ahlfors-Schwarz. Métricas sobre el plano sin dos puntos. El teorema pequeño de Picard. 

  • 10.2 La derivada esférica. El teorema de Marty. El teorema de Montel para familias que omiten 3 puntos. El teorema de Schottky. El gran teorema de Picard..
     

Notas:

11. El teorema de la aplicación de Riemann

  • 11.1 El principio del argumento. El teorema de Hurwitz. Homotopías. Dominios simplemente conexos. Existencia de primitivas y logaritmos. El teorema de la aplicación de Riemann. El teorema de aproximación de Runge. Las distintas caracterizaciones de conexidad simple para dominios planos.

Notas:

Ancla 14

Extras

Euler y las series de potencias

  • Aquí un artículo sobre el trabajo de Leonard Euler en series de potencias. Además de su historia contiene algunas de las fórmulas vistas en clase: 

        Varadarajan, V. S. (2007) Euler and his work on infinite series.  Bull. Amer. Math. Soc. (4)  515–539.

​

El grupo de automorfismos de algunos dominios​

​

El teorema de la aplicación de Riemann vía el problema de Dirichlet​

Ancla 12

Referencias

  • Narasimhan R. Complex analysis in one variable. Birkhäuser (2001).

  • Krantz S. Complex Analysis The Geometric viewpoint. The Carus Mathematical Monographs 23. AMS (2004).

  • Cheraghi D. Geometric complex analysis. Imperial College London (2017). Disponible aquí.

  • Stein E., Shakarchi E. Complex Analysis. Princeton Lectures in Analysis (2007).

  • Conway J. Functions of one complex variable. Second edition. Springer-Verlag.

Ancla 13
bottom of page