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Variable Compleja

Programa

  1. Números complejos.

  2. Geometría y topología en C.

  3. Límites y Series.

  4. Derivación en C..

  5. Funciones armónicas. Ramas del logaritmo.

  6. Geometría de funciones holomorfas

  7. Transformaciones de Möbius.

  8. Integración en C. El teorema de Cauchy en un disco.

  9. Primeras consecuencias del teorema de Cauchy.

  10. Forma homotópica del teorema de Cauchy.

  11. Singularidades aisladas. Residuos.

  12. Aplicaciones al cálculo de integrales reales.

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Notas:

  • El curso está basado principalmente en los libros de J. Conway y E. Stein.

  • Se recomienda visitar la página del libro "Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction. 2019-2023" de J. C. Ponce Campuzano, click aquí. Algunos enlaces específicos de este material se incluyen más adelante.

  • Otro complemento al curso es la introducción visual Essence of complex analysis hecha por el canal de YouTube Mathemaniac.

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Lista Ejercicios

Referencias

Extras

Ancla 0

1. Números complejos.

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  • 1.1 El cuerpo de los números complejos. Conjugado y norma. Representación polar. Fórmulas de Moivre. Raíces de la unidad.

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Notas:

  • App en Geogebra para vizualizar las raíces n-ésimas de un númeor complejo. Click aquí. 

  • Los enteros de Gauus Z[i] son un dominio de factorización única. Puede visitar este enlace para factorizar elementos de este anillo como producto de primos en Z[i].

  • Una primera aplicación de estudiar la aplicación z-->z^2 y la proyección estereográfica de S^1 es encontrar la parametrización de las triplas pitagóricas. Para ello se puede disfrutar del vídeo:

       3Blue1Brown. All possible pythagorean triples, visualized. Clikc aquí.

Ancla 1

2. Geometría y topología en C.

  • 2.1 Rectas y semiplanos en coordenadas complejas. La esfera de Riemann. Proyección estereográfica.

  • 2.2 Topología sobre los complejos. Conexidad y conexidad por caminos. Equivalencia para abiertos de R^n. Compacidad. Teorema de Heine-Borel y de Cantor.​

Notas:

  • Visualización de la proyección estereográfica:       Henri Segerman - "Stereographic projection"

  • App de Geogebra para explorar la proyección: click aquí.

Ancla 2
Ancla 3

3. Límites y Series.

  • 3.1 Límits de sucesiones y funciones. Funciones continuas. Teorema del valor extremo. Polinomios y funciones racionales.

  • 3.2 Convergencia uniforme de funciones. Test M de Weierstrass. Ejemplos: la funciones exponencial y zeta de Riemann. Funciones trigonométricas.

  • 3.3 Series de potencias. Criterio de la raíz y el cociente. Fórmula de Hadamard. Teorema de Abel.

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Notas:

  • App de Geogebra para vizualizar las sumas parciales de la serie geométrica. Click aquí.

Ancla 4

4. Derivación en C.

  • 4.1 Funciones holomorfas. Regla de la cadena. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

  • 4.2 Funciones analíticas. Analiticidad implica holomorfía.

 

Notas:

  • La esencia geométrica de las derivadas complejas se explica de manera muy clara en el siguiente vídeo de vcubingx:

       What does it mean to take a complex derivative? (visually explained)​

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  • ¿Existe una versión del teorema de Rolle para funciones complejas? Para una posible respuesta, puede consultar el artículo:

  • Evard,  J.-Cl., Jafari F. (1992) A complex Rolle's theorem. Amer. Math. Monthly, 99 (9) 858-861.

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  • Respecto a la holomorfía de una función continua, se tiene el teorema de Looman-Menchoff que asegura que si f es una función continua sobre un dominio U, sus derivadas parciales df/dx y df/dy existen en todo punto de U y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es holomorfa en U. Es decir, comparando con el teorema visto en clase, se puede omitir la hipótesis de que las derivadas parciales de f sean continuas. Para una demostración, véase: Capítulo 1.6 de R. Narasimhan, Y. Nievergelt. Complex analysis in one variable. Second Edition. Springer Science+Business Media, LLC. 2001.

 

    Para una discusión más completa sobre este teorema puede consultar:
    Gray, J. D., Morris S. A. (1978) When is a function that satisfies the Cauchy-Riemann equations analytic? Amer. Math.  Monthly, 85(4) 246-256.
 

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Ancla 5

5. Funciones armónicas. Ramas del logaritmo.

  • 5.1 Funciones armónicas. Conjugado armónico. Ramas del logaritmo.

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Notas: Una posible forma de vizualizar una superficie donde la función logaritmo esté definida es pegando infinitos planos por cortes desde el origen. Cada plano representa una elección del ángulo entre 2πn y 2π(n+1), La superficie que se obtiene se conoce como la superficie de Riemann del logaritmo. Véase también aquí.

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Ancla 14
Ancla 15

6. Geometría de funciones holomorfas

  • 6.1 Aplicaciones conformes. Geometría de funciones elementales. Ejemplos.

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Notas: Además de estas DIAPOSITIVAS, les dejo los siguientes enlaces con material para explorar los distintos tipos de gráficas que se pueden realizar para visualizar funciones de variable compleja:

  • Ponce Campuzano, J. App de Geogebra. Click aquí.

  • Losada R. App de Geogebra. Click aquí.

  • Roess D. (2018) App para graficar aplicaciones (incluido sin y cos). Click aquí.

  • Avila N. (2023) Código en Python para graficar con colores. Click aquí.

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Más información sobre el coloreado de dominios en Campuzano, Ch. 3.

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  • Una vizualización interesante de las funciones x^a y x^x en el siguiente vídeo:

       Arredondo A. What is the graph of x^a when a is not an integer? An unusual look at familiar functions.

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  • La visualización de funciones complejas empleando colores se puede intensificar añadiendo retratos de fase como se fue propuesto en el siguiente artículo:

       J. C. Ponce Campuzano (2019) The use of phase portraits to visualize and investigate isolated singular points of               complex functions, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 50:7, 999-1010,

       DOI: 10.1080/0020739X.2019.1656829​

Gz10.png
Ancla 6

7. Transformaciones de Möbius.

  • 7.1 Transformaciones de Möbius. Principios de simetría y de orientación.

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Notas:

  •   Para una visualización de las transformaciones de Möbius a través de la esfera:

         Moebius Transformations Revealed

         D. N. Arnold, J. Rogness. Möbius transformations revealed, Notices of the AMS, 55(10) 1226-1231.

  •   Otro vídeo animado sobre una transformación de Möbius y su acción a través de la esfera de Riemann:

         NumberCruncher, Möbius transformation​

  •   Vídeo de Mathemaniac sobre estas transfomaciones:

         What if we define 1/0 = ∞? | Möbius transformations visualized​

Ancla 7

8. Integración en C. El teorema de Cauchy en un disco.

  • 8.1 Integración en los complejos. Propiedades básicas.

  • 8.2 Teoremas de Goursat y de Cauchy en un disco. Fórmulas y desigualdades de Cauchy.

 

Notas:

  •  Aunque la aploximación dada en las notas es de espíritu matemático, la integral compleja también corresponder     a ideas físicas que se explican adecuadamente en el siguiente vídeo de Mathemaniac:

        Complex integration, Cauchy and residue theorems | Essence of Complex Analysis #6

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  • ​ Las notas contienen la prueba del teorema de Cauchy dada por Goursat. En realidad, partes de esta prueba se deben a Pringsheim. Un poco más de historia sobre estos teoremas se puede consultar en el siguiente artículo. La segunda parte del texto trata con la forma homotópica del teorema de Cauchy que será estudiada en la Sección 10.

        J.Bak & S. G. Popvassilev (2017) The Evolution of Cauchy's Closed Curve Theorem and Newman's Simple Proof,

        The American Mathematical Monthly, 124:3, 217-231, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.124.3.217

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  •  Otra aproximación al teorema de Cauchy se puede obtener a través del teorema de Green. Para recordar las nociones de circulación, rotacional y el significado del teorema, consultar los vídeos de Mathemaniac. Para una demostración del teorema y su relación con el teorema de Cauchy, se puede consultar el artículo:

        W. M. Greenlee. On Green's theorem and Cauchy's theorem. Real Anal. Exchange 30 (2) 703 - 718, 2004-2005.

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Ancla 8

9. Primeras consecuencias del teorema de Cauchy.

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  • 9.1 Holomorfía implica analiticidad. El teorema de Liouville y el teorema fundamental del Álgebra. Ceros de funciones analíticas. Principio de identidad. Teorema de Morera.

  • 9.2 Teorema del módulo máximo. Gráfica del módulo de una función analítica.

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Notas:

  • Como complemento al estudio de gráficas de funciones complejas dado en Analytic Combinatorics de Philippe Flajolet y Robert Sedgewick (pp. 543-546), se recomiendan los siguiente artículos sobre la clasificación de puntos críticos y el caso de gráficas de polinomios:

       J. Bak, P. Ding & D. Newman (2007) Extremal Points, Critical Points, and Saddle Points of Analytic Functions,

       The American Mathematical Monthly, 114:6, 540-546, DOI: 10.1080/00029890.2007.11920444

       Bahman Kalantari (2011) A Geometric Modulus Principle for Polynomials, The American Mathematical Monthly,

       118:10, 931-935, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.118.10.931

  • Como complemento del anterior paper, no podemos dejar pasar su versión para artistas, de donde se tomó la imagen de esta sección:

       Bahman Kalantari & Bruce Torrence (2013) The Fundamental Theorem of Algebra for Artists, Math Horizons,

       20:4, 26-29, DOI: 10.4169/mathhorizons.20.4.26 


 

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Ancla 9

10. Forma homotópica del teorema de Cauchy.

  • 10.1 Índice de una curva en un punto. Fórmulas generales de Cauchy. Homotopías. Forma homotópica del teorema de Cauchy. Dominios simplemente conexos.

 

Notas:

  • Recomendamos la demostración de Peter Lax sobre este resultado, situando al teorema en el análisis de una variable real, en vez de dos. El caso general emplear mollifiers para extender la prueba del caso de homotoías con segundaderivada continua a aquellas solamente continuas:

      Peter D. Lax (2007) The Cauchy Integral Theorem, The American Mathematical Monthly, 114:8, 725-727.

      DOI: 10.1080/00029890.2007.11920463
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Ancla 10

11. Singularidades aisladas. Residuos

  • 11.1 Singularidades aisladas. Teorema de la singularidad removible de Riemann. Polos y residuos. Teorema de Casorati-Weierstrass.

  • 11.2 Desarrollos en series de Laurent. El teorema de los residuos.

  • 11.3 Principio del argumento. Teorema de Rouché. Teorema de la aplicación abierta.

 

Notas:

Ancla 11

12. Aplicaciones a cálculo de integrales reales

  • 12.1 Cálculo de integrales reales I: de funciones racionales sobre la circunferencia unidad y sobre la recta real.

  • 12.2 Cálculo de integrales reales II: integrales clásicas de valor principal.
     

Notas: ... y más integrales. Hay muchos tipos de integrales impropias que pueden ser calculadas a través de integrales complejas y residuos. A continuación incluimos algunas referencias y artículos con más ejemplos:

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  • La evaluación de las sumas de Gauss usando residuos se puede consultar en:

    • Narasimhan R. Nievergelt Y. Complex Analysis in One Variable, 2nd Ed. Springer Science+Business Media, LLC, 2001. Páginas 82-85.

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Extras

Euler y las series de potencias

  • Aquí un artículo sobre el trabajo de Leonard Euler en series de potencias. Además de su historia contiene algunas de las fórmulas vistas en clase: 

        Varadarajan, V. S. (2007) Euler and his work on infinite series.  Bull. Amer. Math. Soc. (4)  515–539.

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La derivada Schwarziana

  • Un taller/resumen sobre la derivada de Schwarz donde se desarrollan sus propiedades más elementales. Esta herramienta es útil en varias áreas como la dinámica compleja o el problema de construir biholomorfismos entre el disco unidad y el interior de polígonos curvilíneos. Para más información y un poco de historia sobre este operador -que es invariante por transformaciones de Möbius- puede consultar:

       Ovsienko, V. Tabachnikov, S. (2009) "What Is . . . the Schwarzian Derivative?" AMS Notices, 56 (1) 34–36.​

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Sobre los polinomios cúbicos y la aplicación de Joukowsky

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La fórmula de Cauchy y el teorema de Caley-Hamilton

  • McCarthy C. (1975) The Cayley-Hamilton Theorem, The American Mathematical Monthly, 82:4, 390-391, DOI: 10.1080/00029890.1975.11993841

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Sumas de series a través de cálculo de residuos.

  • Si le tiempo lo permite, discutiremos esta aplicación del teorema de los residuos y en particular calcular los valore de la función zeta de Riemann en los números pares a través de los números de Bernoulli. Ver las diapositivas aquí.

  • Para más información y propiedades sobre los números de Bernoulli, véase:

       Apostol T. (2008) A primer on Bernoulli numbers and polynomials. Math. Magazine, 81 (3) 178-190.
 

Ancla 12

Referencias

  • Conway J. “Functions of one complex variable”. Second edition. Springer-Verlag. 1978.

  • Stein E., Shakarchi E. “Complex Analysis”. Princeton Lectures in Analysis. 2007.

  • J.E. Marsden M.J. Hoffman. Basic Complex Analysis. Third Edition. W.H. Freeman. 1999.

  • Fornberg B. Piret C. Complex Variables and Analytic Functions An Illustrated Introduction. SIAM, 2020.

  • Palka B. “An introduction to Complex function theory”. Springer-Verlag. 1995.

  • Ponce Campuzano J. C. Complex Analysis: A Visual and Interactive Introduction. 2019-2023. Online, disponible aquí.

  • Ullrich, D.C. Complex Made Simple. Graduate studies in mathematics. AMS, 2008.

Ancla 13

Algunas soluciones de la lista de ejercicios se pueden consultar aquí.

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