Fundamentos de Matemáticas
Programa
Notas:
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La imagen del ícono del curso fue tomada del siguiente vídeo que recomendamos ver antes de iniciar: click aquí.
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Existen varios canales series de divulgación de matemáticas y otras ciencias. Estamos seguros de que los estudiantes encontrarán divertido visitar los calanes Veritasium y 3Blue1Brown
Lista Ejercicios
Referencias
Extras
2. Estrategias de demostración.
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2.1 Demostraciones directas.
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2.2 Por Contrarecíproca. Por contradicción.
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2.3 Bicondicionales. Por casos. Demostraciones visuales.
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2.4 El principio de inducción.
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2.5 Inducción fuerte.
Notas:
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A veces las afirmaciones en matemáticas admiten varias demostraciones. Pruebas novedosas con ideas bellas sobre resultados clásicos siempre son bienvenidas. Un ejemplo es el teorema de Pitágoras, que con más de 360 pruebas, admitió en 2024 otras cuantas nuevas, a cargo de las estudiantes de bachillerato en New Orleans, Calcea Johnson y Ne’Kiya Jackson, sin emplear "trigonometría". Sus hallazgos fueron publicados en:
Jackson, N., & Johnson, C. (2024). Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 131(9), 739–752. doi: 10.1080/00029890.2024.2370240
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Más modestas son las demostraciones sobre la irracionalidad de √2. En este enlace se pueden encontrar unas tantas. Por otra parte, la demostración presentada sobre la infinidad de los primos fue tomada de:
F. Saidak (2006) A New Proof of Euclid’s Theorem. The American Mathematical Monthly, 113(10):937–938. doi: 10.1080/00029890.2006.11920383
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En internet podemos encontrar muchas fuentes de "demostraciones" visuales animadas.En los siguientes enlaces pueden encontrar algunas de ellas:
Algunas demostraciones visuales (Mates Mike).
Mathematical Visual Proofs (Canal de YouTube dedicado a pruebas visuales).
Una applet para jugar con Trominós.
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En en ejemplo de triangulación de políginos (inducción fuerte) usamos el hecho de que cada polígono simple con al menos cuatro lados tiene una diagonal interior. Este resultado se puede consultar en el artículo:
Ho C. Decomposition of a Polygon into Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 132-134. doi: 10.2307/3616244.
3. Teoría intuitiva de conjuntos.
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3.1 Conjuntos y operaciones.
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3.2 Conjuntos indexados.
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3.3 El Producto cartesiano.
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3.4 Aplicaciones a conteo.
Notas:
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Dibujar diagramas de Venn para uno o dos conjuntos puede ser ilustrativo, pero para más se convierte en un dolor de cabeza. El siguiente vídeo ilustra el caso de una representación correcta para 4 conjuntos.
Four Set Venn Diagram and Five Set Venn Diagram, Mathematical Visual Proofs.
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En una primera aproximación para contar el estimado de posibles códigos QR que hay discutimos algunas propiedades de estos patrones. Pueden ver el siguiente vídeo de Veritasium donde explican cómo construir estos códigos.
Veritasium: I built a QR code with my bare hands to see how it works
4. Relaciones.
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4.1 Relaciones. Nociones generales.
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4.2 Relaciones de equivalencia.
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4.3 Congruencias.
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4.4 Relaciones de orden.
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4.5 Max, min, sup, inf,... .
Notas:
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La imagen de las relaciones fue tomama de libro de Hamkins Proof and the Art of Mathematics. Las imágenes de las superficies que se obtienen por relaciones de equivalencia sobre el cuadrado [0,1]x[0,1] fueron tomas del vídeo:
This open problem taught me what topology is - 3Blue1Brown
5. Funciones.
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5.1 Aplicaciones (funciones).
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5.2 Aplicaciones inyectivas y sobres. Composición de Aplicaciones.
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5.3 Aplicación inversa. Aplicaciones biyectivas. Equipotencia.
Notas:
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La equipotencia explítica entre (0,1) y (0,1] fue tomada del artículo:
A. Witkowski (2020) Bijections between (0, 1), (0, 1], and [0, 1]. The American Mathematical Monthly, 127(2):139.
6. Introducción a Cardinales.
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6.1 Conjuntos contables y no contables.
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6.2 Algunos ejemplos más. Consideraciones finales.
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6.3 Extra: Los coeficientes binomiales y aplicaciones.
Notas:
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Un par de vídeos sobre la idea del cardinal de los naturales, el hotel infinito de Hilbert y el método de la diagonal de Cantor:
How An Infinite Hotel Ran Out Of Room. Veritasium
The paradox of the Infinite Hotel - Jeff Dekofsky
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Sobre las partes técnicas finales (axioma de elección), tal vez la paradoja de Banach-Tarski pueda ser una ilustración adecuada de los retos anti-intuitivos que conlleva. Ella nos dice que es posible tomar una esfera sólida en el espacio de 3 dimensiones, dividirla en un número de piezas, de tal manera que, rotando algunas de ellas, se vuelve a formar una esfera sólida del mismo radio de la esfera original. Además rotando otras de las piezas ocurre lo mismo. En otras palabras, de una esfera sólida resultan dos esferas sólidas iguales a la original...
Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol
Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek
The Banach–Tarski Paradox - Vsauce
Extras
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Una buena exposición del Axioma de Elección y algunas de sus equivalencia se pueden consultar en el artículo:
Gillman, L. (2002). Two Classical Surprises Concerning the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis. The American Mathematical Monthly, 109(6), 544–553. doi: 10.1080/00029890.2002.11919884
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¿Hay teoremas que no es posible demostrar? Más sobre esta afirmación y los teoremas de incompletitud de Gödel aquí:
Math's Fundamental Flaw - Veritasium
Referencias
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Bloch, E.: Proofs and Fundamentals: A first course in abstract mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2nd ed, 2011.
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Pastrán, R. y Zambrano, P.: Fundamentos de Matemáticas. Versión preliminar aceptada para publicación. Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2023.
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Hamkins J. Proof and the Art of Mathematics. MIT Press, 2020.
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Hammack, R.: Book of Proof. 3rd ed, Virginia Commonwealth University.
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Velleman, D. J.: How to prove it: A structured approach. 2nd ed. Cambridge University Press, 2006.