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1. Curvas parametrizadas.

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Notas:

       ¿Curvas que llenan el espacio? Si! pero no diferenciables:

       3Blue1Brown: "Encanto fractal: curvas que recubren el plano" 

Ancla 1

2. Curvatura y torsión

  • 2.1 Vector tangente y normal unitario. Curvatura. Fórmulas para la curvatura. Producto cruz. Vector binormal. Marco de Frenet.

  • 2.2 Curvatura signada para curvas planas. Torsión. Fórmulas de Frenet-Serret.

Notas:

       Tutorial para construir el triedro de Frenet en GeoGebra 3D:

       https://www.youtube.com/watch?v=S3-m1cRt80k&ab_channel=turksvids

Ancla 2

3. Teorema fundamental de la teoría local de curvas

  • 3.1 Movimientos rígidos en R^n. Teorema fundamental de curvas en R^3.

  • 3.2 Ejemplos: la clotoide. Teorema del punto fijo de Banach y aplicaciones a ecuaciones diferenciales ordinarias.
     

Notas:

Ancla 3

4. Desigualdad isoperimétrica. Teorema de la curva de Jordan

  • 4.1 Teoremas de la función inversa. Desigualdad isoperimétrica.
    4.2 Levantamiento de curvas en S1. Homotopías. El grado de una curva en S1 y el índice de una curva plana en un punto. Teorema de la curva de Jordan.

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Notas:

       Esta demostración de la desigualdad isoperimétrica se debe a Peter Lax:

       Lax, P. (Feb., 1995) A short path to the shortest path. Amer. Math. Monthly, 102(2), 158-159.

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  • Aquí un artículo divulgativo con algo de historia sobre este teorema que además contiene un par de curvas con algo de arte:

       Fiona, R., Ross, W. (2011) The Jordan curve theorem is non-trivial. J. Math. Arts, 5(4): 213–219.
 

Ancla 4

5. Superficies regulares

  • 5.1 Superficies parametrizadas y regulares. Ejemplos: planos, gráficas de funciones, la esfera unitaria.

  • 5.2 Superficies de revolución. Forma local de una superficie como gráfico de una función.

  • 5.3 Superficies de nivel a través de valores regulares de una función. Extensión local de cartas a funciones suaves en R3.

​

Notas:

       Surfer es un software libre para graficar superficies (a través de ecuaciones implícitas). Es una buena herramienta de vizualización: https://imaginary.org/program/surfer
 

Ancla 5

6. Funciones suaves. El plano tangente.

  • 6.1 Funciones suaves sobre superficies. Introducción al espacio tangente.

  • 6.2 Cálculo del plano tangente a una superficie regular. Gérmenes y derivaciones locales.

  • 6.3 Descripción intrínseca del plano tangente como espacio de derivaciones. La derivada de una función sobre               superficies.

  • 6.4 Ejemplos de cálculo de la diferencial de funciones sobre superficies.

 

Notas:

       Sobre más detalles sobre el espacio tangente a una variedad Ck véase:
       Taylor, L. E. (July 1973) The tangent space to a Ck manifold. Bull. Amer. Math. Soc. 79(4): 746.
 

Ancla 6

7. La primera forma fundamental. 

  • 7.1 La primera forma fundamental. Isometrías locales. Superficies orientables.

  • 7.2 Campo normal unitario. Ejemplos de superficies orientables y no orientables. La aplicación de Gauss.

​

Notas:

       En este vídeo se muestra una deformación isométrica del heliocide en el catenoide.
       Catenoid - Helicoid transformation Q
 

Ancla 7

8. Segunda forma fundamental. La curvatura Gaussiana.

  • 8.1 Segunda forma fundamental. Curvaturas normales, principales, media y Gaussiana. 

  • 8.2 Los símbolos de Christoffel. El teorema Egregium de Gauss.

  • 8.3 Ejemplos de cálculo de curvaturas.
     

Notas:

       

Ancla 8

9. Geodésicas

  • 9.1 Derivada covariante. Geodésicas. Propiedades.

  • 9.2 Ejemplos de geodésicas. La relación de Clariaut. Curvatura geodésica.

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Notas:

       Muy recomendado el vídeo The beauty of geodesic (Physics Videos by Eugene Khutoryansky) sobre geodésicas y su significado.

 

       Les dejo este software desarrollado en la Universität Karlsruhe para visualizar geodésicas sobre una superficie                 dada: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/software/geodesiclab/a3.html

Ancla 9

10. El teorema de Gauss-Bonnet

  • 10.1 Fórmula para la curvatura geodésica en coordenadas. Integración sobre superficies.

  • 10.2 La característica de Euler. Los teoremas de Gauss-Bonnet, versiones local y global.
    ​

Notas:

       

Ancla 10

Extras

Curvatura periódica

  • Dada una función de curvatura k, existe una curva plana c_k con dicha curvatura. Pero si k es periódica, no hay razón para que c_k lo sea. Un criterio para dicho problema se encuentra en: 
    Arroyo, J., Garay, O. J., Mencía J. J. (May, 2008) When is a periodic function the curvature of a closed plane curve? Amer. Math. Monthly, 115(5): 405-414.

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La eversión de la esfera

La proyección de Mercator

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El teorema de la bola peluda​

  • Este famoso teorema admite varias pruebas. Les dejo dos referencias (sin emplear el teorema de Poincaré-Hopf):​

            Milnor, J. (Aug.-Sep. 1978) Analytic proofs of the "Hairy Ball theorem" and the Brouwer fixed point theorem. Amer. Math. Monthly, 85(7): 521-524.

 

          Curtin, E. (2018) Another short proof of the Hairy Ball theorem. Amer. Math. Monthly, 125(5): 462-463.

 

Ancla 11

Referencias

  • M. Abate, F. Tovena, Curves and Surfaces, Unitext, Springer-Verlag, 2012.

  • M. doCarmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall Inc. 1976.

  • A. Pressley. Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2010.

  • O'Neill B. Elementary Differential Geometry. Academic Press, NY, 1966.

  • Kobayashi S. Differential Geometry of Curves and Surfaces. UTM Springer-Verlag, 2019.

Ancla 12

Algunas soluciones de la lista de ejercicios se pueden consultar aquí.

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