Análisis Real 1
Programa
Lista Ejercicios
Referencias
Extras
¡News! El libro "Introducción al análisis real, Guía actualizada de clase", en coautoría con L. Chachón pronto estará disponible.
Click aquí para acceder al primer capítulo.
1. Números reales.
-
1.1 Cuerpos. Conjuntos totalmente ordenados. Supremo e ínfimo. Propiedades.
-
1.2 Los números reales. Propiedad arquimedeana. Densidad de los racionales. Existencia de raíces.
Notas:
La demostración de la irracionalidad de √2 es tomada de:
Bloom, D. (1995) A one sentence proof that srqt(2) is irrational. Mathematics Magazine.
Para una demostración alternativa:
Lord, N. (2018). 102.23 A visual proof that √N is irrational. The Mathematical Gazette, 102(554), 311-312.
Estas demostraciones se encuentran animadas en:
2. Conjuntos contables y no contables.
-
2.1 Conjuntos contables y no contables. El argumento de la diagonal de Cantor. El principio de intervalos encajados.
Notas:
Sobre argumentos de conteo, puede el siguiente vídeo sobre el Hotel infinito de Hilbert:
Jeff Dekofsky - La paradoja del Hotel Infinito.
Sobre biyecciones entre los intervalos (0,1), (0,1] y [0,1], véase el siguiente artículo que construye biyecciones explícitas:
Witkowski A. (2020) Bijections between (0, 1), (0, 1], and [0, 1]. The American Mathematical Monthly, 127:2, 139-139
3. Métricas y normas.
-
3.1 Espacios métricos, espacios vectoriales normados. El espacio euclídeo. Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkoswki.
Notas:
4. Conjuntos abiertos y cerrados.
-
4.1 Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos interiores y puntos límite. Interior y clausura. Ejemplos.
Notas:
Problema de la clausura-complemento de Kuratowski: Sea (X,t) un espacio topológico y A un subconjunto de X. ¿Cuál es el número máximo de conjuntos distintos que se puede obtener aplicando repetidamente las operaciones de clausura y complemento a A? La respuesta es 14. Este resultado se debe a Kazimierz Kuratowski quien lo demostró en 1922 en el artículo:
Kuratowski C. (1922) Sur l’opération A de l’Analysis Situs, Fund. Math., 3, 182–199. Ver online -traducción al inglés-
5. Conjuntos compactos y conexos.
-
5.1 Compacidad. Propiedades básicas y ejemplos. Los teoremas de Cantor y de Heine-Borel. Conexidad. Conjuntos conexos de R.
Notas:
6. Sucesiones y límites.
-
6.1 Definición de límite de una sucesión. Cálculo de sucesiones en los números reales. Límites de algunas sucesiones. Sucesiones crecientes. Criterio de Stolz.
-
6.2 Sucesiones de Cauchy. Diámetro de un conjunto. Completitud de espacios compactos y de R^n.
-
6.3 Subsucesiones. Límite superior e inferior de una sucesión de números reales.
Notas:
Sobre los puntos límite de la sucesión sin(n), que es precisamente [-1,1], véase:
Staib J.H., Demos M. (1967) On the limit points of the sequence sin(n). Mathematics Magazine,Vol. 40 (4)210-213.
Sobre la fórmula integral de Gauss para la media aritmético-geométrica, véase la demostración aquí.
7. Series.
-
7.1 Series y su convergencia. Test de comparación y de paso al límite. Test de condensación de Cauchy.
-
7.2 El número de Euler. Criterio de la raíz y del cociente. Convergencia absoluta.
-
7.3 Series de potencias. Test de convergencia de Dirichlet y de Leibniz. Teorema de reordenación de series de Riemann.
Notas:
Existe otra demostración reciente de la irracionalidad de e:
ZiJian Diao (2019) An elementary proof of the irrationality of e. The American Mathematical Monthly, 127(1), p. 84.
Sobre la solución del problema de Basilea, existen varias demostraciones disponibles. Por ejemplo:
Daners, D. (2012). A short elementary proof of Σ 1/k2 = π2/6. Mathematics Magazine, 85(5), 361–364.
9. Derivadas.
-
9.1 Derivadas de funciones reales. Máximos y mínimos. Teorema del valor medio. Teorema de Darboux. Regla de L'Hôpital. Teorema de Taylor.
Notas:
Sobre la regla de la cadena, existe una fórmula más general para determinar la derivada n-ésima de la composición de dos funciones, denominada la fórmula de Faà di Bruno (1825-1888). Para más información, véase:
Johnson, W.P. (2002) The curious history of Faà di Bruno's formula. The American Mathematical Monthly,109, 217- 23a.
Una demostración alternativa y mucho más ilustrativa del teorema de Darboux sobre derivadas, a saber, la derivada de una función f sobre (a,b) asume los valores intermedios entre f'(a) y f'(b), se puede consultar en:
Olsen L. (2004) A new proof of Darboux's theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 8, 713-715.
He aquí otra demostración del teorema de Darboux:
Nadler, S. (2010) A proof of Darboux's theorem. The American Mathematical Monthly, 117(2) 174-175.
El teorema del valor medio para derivadas y su versión más general, debida a Cauchy, de hecho son equivalentes!
Pierro de Camargo A. (2020) A new proof of the equivalence of the Cauchy mean value theorem and the mean
value theorem. The American Mathematical Monthly. 127:5, 460.
10. Sucesiones y series de funciones.
-
10.1 Convergencia uniforme de funciones. M-test de Weierstrass. Teorema de Stone-Weierstrass. Funciones continuas que no son diferenciables en ningún punto.
Notas:
Para conocer un poco más sobre la historia de la construcción de funciones continuas que no son diferenciables en ningún punto, puede consultar:
Thim J. (2002) Continuous nowhere differentiable functions (MS Thesis).
11. La integral de Riemann.
Extras
-
Sobre la pregunta: ¿existen números irracionales x e y tales que x^y es racional?
Marshall A. J., Tan, Y. (2012). 96.06 A rational number of the form a^a with a irrational. The Mathematical Gazette, 96(535), 106-108.
-
Como tema complementario, si alguien está interesado, les dejo el siguiente artículo con notas históricas, sobre algunas contribuciones de Cantor a la existencia de números trascendentes.
Gray R. (1994) Georg Cantor and transcendental numbers. The American Mathematical Monthly, 101 (9) 819-832.
Fracciones continuas
-
Este es un taller/resumen sobre el algoritmo de Gauss para expresar un número positivo como fracción continua. Puede encontrar más información sobre este tema aquí.
El test de Kummer
-
Existen varios criterios para determinar la convergencia de una serie. Uno de ellos, el test de Kummer, (aprox. 1835) incluye los criterios de D'Alembert's, Raabe's, Bertrand's, y Gauss. Su enunciado y demostración clara se puede consultar en:
Tong, J. (1994). Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series. The American Mathematical Monthly, 101(5), 450-452.
¿Un contraejemplo a la regla de L'Hôpital?
-
Este artículo por supesto no da contraejemplos de la regla de L'Hôpital, pero si da un ejemplo interesante de que al no satisfacerse las hipótesis, dicha regla no se puede emplear.
Boas R. P. (1986) Counterexamples to L'Hopital's rule. The American Mathematical Monthly, 93 (8) 644-645.
Funciones suaves de soporte compacto
-
Este taller trata sobre funciones infinitamente diferenciables que son cero salvo en un conjunto acotado. Incluye en particular el ejemplo clásico de una función C infinito que no es analítica en un punto.
Diferenciabilidad del resto integral de la fórmula de Taylor
-
La clase de diferenciabilidad de dicha fórmula fue establecida por H. Whitney en el artículo:
Whitney, H. (1943) Differentiability of the remainder term in Taylor’s formula. Duke Math. J. 10 (1) 153-158.
El teorema de Borel
-
Este teorema asegura que dada cualquier sucesión de números reales (o complejos), existe una función suave definida en R cuyos coeficientes de su serie de Taylor en un punto dado está dada por dicha sucesión, véase:
Besenyei, A. (2014) Peano’s unnoticed proof of Borel’s theorem. The American Mathematical Monthly, 121 (1) 69-72.
-
Les dejo esta demostración constructiva sobre el teorema de Stone-Weierstrass debida a S.N. Bernstein empleada en probabilidad.
La curva de Koch
-
Un artículo sobre la demostración de que la curva de Koch no admite tangente en ningún punto.
Ungar S. (2007) The Koch curve: a geometric proof. The American Mathematical Monthly, 114(1) 61-66.
La fórmula de Stirling
-
Esta fórmula establece el comportamiento asintótico de la función Gamma en el infinito y en particular, el comportamiento del factorial. Una demostración reciente se puede consultar en:
Lou, H. (2014) A short proof of Stirling’s formula. The American Mathematical Monthly, 121(2) 154-157.
Referencias
-
Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 3er edition, McGraw-Hill, Inc. 1964.
-
Marsden, J.E. Elementary Classical Analysis. W. H. Freeman and Company. 1974.
-
Lima, E. L. Analise Real. Vol. 1. Funcoes de uma variavel. 8va edicion. CMU, IMPA. 2006.
-
Apostol, T. Mathematical Analysis, 2nd edition. Addison Publishing Company. 1981.
-
Jost, J. Postmodern Analysis, 3er edition. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. 2005.
-
Browder, A. Mathematical Analysis, An Introduction. UTM, Springer-Verlag, NY. 1996.
Algunas soluciones de la lista de ejercicios se pueden consultar aquí.