Sistemas Dinámicos continuos
Programa
Notas:
1. Introducción. Orden y dimensión.
El caso unidimensional.
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1.1 Introducción al curso. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden y dimensión.
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1.2 EDOs de orden y dimensión 1. Análisis cualitativo y estabilidad.
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1.3 Ejemplos de bifurcaciones en dimensión 1. EDOs en S1.
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1.4 Análisis cualitativo de sistemas no autónomos en dimensión 1. Subsoluciones y supersoluciones. EDOs exactas.
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1.5 Familias uniparamétricas de curvas.
Notas:
2. Teoremas de Existencia y Unicidad.
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2.1 Repaso sobre el principio de contracción. El teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelöf.
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2.2 Dependencia continua de condiciones iniciales. La desigualdad de Gronwall. El método de perturbaciones regulares.
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2.3 Extensión de soluciones. Criterios de compacidad y de crecimiento semilineal.
Notas:
3. Sistemas lineales.
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3.1 Sistemas lineales. La exponencial de una matriz. Propiedades.
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3.2 Soluciones provenientes de vectores y valores propios. Dinámica de sistemas lineales en dimensión 2
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3.3 Sistemas lineales no autónomos. Matrices fundamentales de soluciones. Wronskiano. Fórmula de Liouville. Ecuaciones lineales escalares.
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3.4 Comportamiento asintótico de soluciones de sistemas lineales.
Notas:
4. Campos vectoriales y flujos.
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4.1 El flujo de una ecuación autónoma. Campos vectoriales. Propiedades de flujos. El espacio tangente y campos vectoriales sobre hipersuperficies. Campos sobre S1.
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4.2 Órbitas. Conjuntos invariantes (compactos y minimales). El conjunto omega límite de un punto. Ejemplos y propiedades.
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4.3 Cambios de coordenadas. El teorema de la función inversa. El teorema de rectificación de campos. La derivada de Lie. Integrales primeras de un campo. Ejemplos: Sistemas Hamiltonianos, Ley de Newton en dimensión 1. El péndulo.
Notas:
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En esta referencia pueden encontrar una demostración analítica del teorema de la "bola peluda" y como consecuencia el teorema del punto fijo de Brower.
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Milnor J. Analytic Proofs of the "Hairy Ball Theorem" and the Brouwer Fixed Point Theorem. American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 7 (Aug. - Sep., 1978), pp. 521-524. doi
5. Estabilidad.
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5.1 Estabilidad de puntos singulares. Ejemplos. Funciones de Liapunov. Teorema de LaSalle. Ejemplos. Sistemas gradientes.
Notas:
Referencias
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Gerald Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. GTM 140, AMS. 2012.
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Steven Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. CRC Press, 2012.
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Jorge Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 1979.
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Hirsch, M. W., S. Smale. R. L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems & an Introducition to Chaos. 2nd ed. Elsevier Academic Press, 2004.
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Dumortier F., Llibre J., Artés J.. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2006.