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1. Introducción. Orden y dimensión.

     El caso unidimensional.

  • 1.1 Introducción al curso. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden y dimensión.

  • 1.2 EDOs de orden y dimensión 1. Análisis cualitativo y estabilidad.

  • 1.3 Ejemplos de bifurcaciones en dimensión 1. EDOs en S1.​

  • 1.4 Análisis cualitativo de sistemas no autónomos en dimensión 1. Subsoluciones y supersoluciones. EDOs exactas.

  • 1.5 Familias uniparamétricas de curvas.

​

Notas: 

Ancla 1

2. Teoremas de Existencia y Unicidad.

  • 2.1 Repaso sobre el principio de contracción. El teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelöf. ​

  • 2.2 Dependencia continua de condiciones iniciales. La desigualdad de Gronwall. El método de perturbaciones regulares.

  • 2.3 Extensión de soluciones. Criterios de compacidad y de crecimiento semilineal.

​

Notas:

​

​

Ancla 2
Ancla 3

3. Sistemas lineales.

  • 3.1 Sistemas lineales. La exponencial de una matriz. Propiedades.

  • 3.2 Soluciones provenientes de vectores y valores propios. Dinámica de sistemas lineales en dimensión 2

  • 3.3 Sistemas lineales no autónomos. Matrices fundamentales de soluciones. Wronskiano. Fórmula de Liouville. Ecuaciones lineales escalares.

  • 3.4 Comportamiento asintótico de soluciones de sistemas lineales.

 

Notas:

Ancla 4

4. Campos vectoriales y flujos.

  • 4.1 El flujo de una ecuación autónoma. Campos vectoriales. Propiedades de flujos. El espacio tangente y campos vectoriales sobre hipersuperficies. Campos sobre S1.

  • 4.2 Órbitas. Conjuntos invariantes (compactos y minimales). El conjunto omega límite de un punto. Ejemplos y propiedades.

  • 4.3 Cambios de coordenadas. El teorema de la función inversa. El teorema de rectificación de campos. La derivada de Lie. Integrales primeras de un campo. Ejemplos: Sistemas Hamiltonianos, Ley de Newton en dimensión 1. El péndulo.

​

Notas:

​

  • En esta referencia pueden encontrar una demostración analítica del teorema de la "bola peluda" y como consecuencia el teorema del punto fijo de Brower.

  • Milnor J. Analytic Proofs of the "Hairy Ball Theorem" and the Brouwer Fixed Point Theorem. American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 7 (Aug. - Sep., 1978), pp. 521-524. doi

Ancla 5

5. Estabilidad.

  • 5.1 Estabilidad de puntos singulares. Ejemplos. Funciones de Liapunov. Teorema de LaSalle. Ejemplos. Sistemas gradientes.

 

Notas:

Ancla 6

6. El teorema de Poincaré-Bendixon.

  • 6.1 Teorema de la función implícita. Ejemplos. Secciones transversales. La aplicación de Poincaré.

  • 6.2 El teorema de Poincaré-Bendixon.

  • 6.3 Ciclos límite. Ejemplos.

​

Notas:

Ancla 12

Referencias

  • Gerald Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. GTM 140, AMS. 2012. 

  • Steven Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. CRC Press, 2012.

  • Jorge Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 1979.

  • Hirsch, M. W., S. Smale. R. L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems & an Introducition to Chaos. 2nd ed. Elsevier Academic Press, 2004.

  • Dumortier F., Llibre J., Artés J.. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2006.​ 

Ancla 13
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