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Sistemas numéricos

Programa

  1. Operaciones binarias.

  2. Números naturales. Conteo.

  3. Números enteros.

  4. Números racionales.

  5. Números reales.

  6. Números complejos. Polinomios y fracciones.

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Notas:

  • Antes de comenzar, es bueno reflexionar sobre la escritura de los números: A. King. A brief history of numerical systems.

  • El curso se guió en parte de las notas de clase (en construcción) del profesor Jose Luis Ramírez a quien agradecemos haberlas compartido.

  • Existen varios canales series de divulgación de matemáticas y otras ciencias. Estamos seguros de que los estudiantes encontrarán divertido visitar Veritasium  y 3Blue1Brown

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Lista Ejercicios

Referencias

Extras

Ancla 0

1. Operaciones binarias.

  • 1.1 Los enteros módulo m. Artimética modular.

  • 1.2 Operaciones binarias. Propiedades.

  • 1.3 Introducción a grupos y homomorfismos.​

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Notas: 

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  • Para más información sobre grupos puede consultar el curso correspondiente aquí.

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  • Es posible estimar el número de operaciones asociativas y conmutativas sobre un conjunto de n elementos. Puese consultar los trabajos:

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  • El juego de cartas SET consiste de cartas decoradas con color, número, sombra y forma (3 opciones por propiedad) y su objetivo consiste en reconocimiento de patrones. El conjunto de cartas se puede dotar de una operación binaria, dando como resultado la carta que hace falta para formar un set. Se puede consultar su descripción en el siguiente artículo:​​​​

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Ancla 1

2. Números naturales. Conteo.

  • 2.1 Los axiomas de Peano.

  • 2.2 Repaso sobre inducción. Introducción a conteo.​

  • 2.3 Permutaciones. Coeficientes binomiales.

  • 2.4 Principios del palomar y de Inclusión-Exclusión.

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Notas:

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  • Puede consultar más ejemplos de inducción en el curso de Fundamentos de Matemáticas, click aquí.

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  • Para más ejercicios sobre conteo puede consultar el libro: Chuan-Chong C., Khee-Meng K. Principles and techniques in combinatorics. World Scientific. 1992.

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  • Veritasium: The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture. Un famoso problema abierto es la conjetura de Collatz (conjetura 3N+1) sobre la iteración de la regla: n-->n/2 si n es par y n-->3n+1 si n es impar. El problema consiste en demostrar que sin importar el n_0 inicial, siempre se llega al valor 1. Por ejemplo,

 

                                   9​→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.​

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       El número de pasos para que n llege a 1 está codificado en la sucesión A006577 de OEIS. Aunque se han comprobado hasta 2^37 valores, y para la mayoría de valores debería ser válida, el problema sigue abierto. 

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Ancla 2
Ancla 3

3. Números enteros.

  • 3.1 Algoritmo de la división. Divisivilidad. Máximo común divisor.

  • 3.2 Identidad de Bezout. Lema de Euclides. Mínimo común múltiplo.

  • 3.3 Aplicaciones de Aritmética modular. Congruencias notables. 

  • 3.4  Teorema de Euler. Teorema chino de los restos.

  • 3.5 Números primos.

 

Notas:

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  • 3Blue1Brown ¿Por qué los números primos forman estas espirales? | El teorema de Dirichlet y aproximaciones de π.

  • Quantamagazine Mathematicians Will Never Stop Proving the Prime Number Theorem.

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  • El triángulo de Pascal y sus residuos módulo un primo dan como resultado estructuras fractales. El caso más conocido es p=2 dando lugar al triángulo de Sierpinski. Entre las muchas referencias destacamos la siguiente, que en particular también repasa las congruencias de Lucas y un resultado de Kummer sobre la valoración p-ádica de los coeficientes binomiales:

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  • Aunque no existe un polinomio en una variable con coeficientes enteros que solo asuma valores primos, si es posible representar a los números primos por un polinomio con coeficientes enteros en 26 variables. Este resultado se puede consultar en: James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada and Douglas Wiens (1976) Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers. Amer. Math. Monthly, 83(6), 449-464.

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  • Entre las formas de representar primos destacamos un resultado (tal vez impráctico pero curioso) de Mills expresando primos a través de la parte entera de A^(n^3), para cierta constante real A>1: . H. Mills (1947) A prime representing function, Bull. Amer. Math. Soc., 53, p. 604.

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  • Para más información y curiosidades sobre primos pueden consultar el libro: Ribenboim, P. The Little Book of Big Primes, Springer. 2004.

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Ancla 4

4. Números racionales

  • 4.1 Construcción de Z y Q.

  • 4.2 Fracciones continuas y expansión decimal.

  • 4.3 El árbol de Calkin-Wilk. Valoración p-ádica.

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Notas:

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N reales

5. Números reales.

  • 5.1 Cuerpos y cuerpos ordenados. 

  • 5.2 Números reales. Axioma de completitud.

  • 5.3 Construcciones de los reales.

 

Notas:

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  • Uno de los problemas fundamentales en Teoría de Números es determinar si una constante es irracional o no, o más aún si es trascendente. Valores como la constante de Euler-Mascheroni o la constante de Catalán siguien abiertos. Nos limitamos a enlazar el teorema de Gelfond–Schneider y los trabajos recientes de Calegari et al. sobre la aritmética de valores de funciones L de Dirichlet.

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  • Existen muchas construcciones de R, además de por cortarudas de Dedekind o por sucesiones de Cauchy. Una particularmente interesante es a través de quasihomomorfismos de los enteros (Eudoxus). Para una lista de posibles construcciones puede consultar: Ittay Weiss (2015) The real numbers–A survey of constructions. Rocky Mountain J. Math. 45 (3) 737 -762.

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  • Una vez completada esta sección, y con fundamentos de Cálculo, es posible acceder a los inicios de un curso introductorio de análisis real, por ejemplo este.

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Ancla 5

6. Números complejos. Polinomios y fracciones

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  • 5.1 Representación carteriana y polar.

  • 5.2 Polinomios en una variable. Algoritmo de la división.

  • 5.3 El teorema fundamental del Álgebra. Irreducibilidad de polinomios.

 

Notas:

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  • Veritasium: How Imaginary Numbers Were Invented.

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  • Applet en Geogebra para vizualizar las raíces n-ésimas de un número complejo. Click aquí.

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  • Applet en Geogebra para vizualizar las sumas parciales de la serie geométrica en los complejos. Clik aquí.

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  • Los números complejos tiene muchas aplicaciones a la geometría (isometrías, el teorema de los 9 puntos del círculo de Euler, el teorema de Morley, etc). Puede consultar estos y más en el texto: Andreescu T. Andrica D. Complex Numbers from A to … Z, 2nd ed. Birkauser. 2014. 

Ancla 12

Extras

  • Aunque el curso termina con números complejos, existen más sistemas numéricos como los cuaterniones de Hamilton (no conmutativo) los octoniones (ni conmutativo ni asociativo). La mulltiplicación en los cuaterniones sirve para codificar rotaciones en en espacio euclídeo tridimensional. Puede consultar los siguientes enlaces para explorar:

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  • Una buena referencia sobre cuaterniones y octoniones (su relación con geométria, teoría de números) es el libro:

    • John H. Conway and Derek A. Smith. On quaternions and octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. A K Peters, Ltd., Natick, MA, 2003.

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  • Otro sistema relevante conocidoc como los Números Surreales (contiene a los reales, infinitesimales, infinitos) fue creado por John Conway, descrito por D. Knuth en el libro Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness. La lectura obligatoria de este sistema (de donde tomé la imagen de la portada de este curso) es:

    • J. H. Conway. On numbers and games. Academic Press, London, New York, San Francisco, 1976.​

Ancla 13

Referencias

  • Cioba S. Linde W. A Bridge to Advanced Mathematics: From Natural to Complex Numbers. Pure and applied undergraduate texts 58. AMS, 2022.

  • Conway J. Guy R. The book of numbers. Copernicus Springer-Verlag NY. 1996.

  • Bloch, E.: Proofs and Fundamentals: A first course in abstract mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2nd ed, 2011.

  • Kramer J. von Pippich A. From Natural Numbers to Quaternions. Springer Spektrum 2013.

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